Kurt Gödel
Qui est ce personnage et comment est-il arrivé à ce stade, d’être celui qui a prouvé l’existence de théorèmes mathématiques ?
Kurt Gödel (28/04/1906-14/01/1978) est né à Brunn en Autriche-Hongrie et est décédé à New Jersey aux États-Unis. Il était logicien et mathématicien Autrichien, et fut naturalisé américain. Gödel est connu pour plusieurs découvertes mathématiques qui ont plus ou moins marqué l'histoire. Pour initialiser son parcours supérieur, il est parti à l'âge de 18 ans étudier à l'université de Vienne où il commence à étudier la physique théorique, les mathématiques et la philosophie. Dans la capitale autrichienne, il existe un groupe de savants et de penseurs connus de tous à Vienne, qui est surnommé le "Cercle de Vienne" et dans lequel Gödel arrive à se démarquer assez rapidement. En effet, il achèvera sa thèse de doctorat à 23 ans, qui devint célèbre et renommée le "théorème de complétude de Gödel", dans laquelle ce dernier a établi la complétude du calcul des prédicats du premier ordre. C’est-à-dire que Gödel a pu démontrer qu’il existe une correspondance entre la sémantique (le sens de chaque chose) et les démonstrations d’un système de déduction de logique du premier ordre (dérivée première des nombres).
Gödel réussit à démontrer l'hypothèse du continu, où il mène un chemin de réflexion à partir de la théorie des ensembles, qui regroupe les primitives, les notions d'ensemble et d'appartenance, à partir desquelles elle reconstruit les objets usuels des mathématiques : fonctions, relations, entiers naturels, relatifs, rationnels, nombres réels, complexes, mais il est également à l'origine d’autres théorèmes comme celui de la théorie des fonctions récursives. C'est en 1930, alors qu'il travaille encore et toujours pour le compte de l'université de Vienne, que Gödel va réaliser deux travaux révolutionnaires, après avoir démontré la complétude logique classique du 1er ordre. Ses travaux vont alors marquer un tournant majeur dans l'histoire de la logique, qui, de façon simplifiée, répond en fait tout simplement "non" à la question de la démonstration de la cohérence des mathématiques proposée en 1910 par le programme de Hilbert. Ce sont les deux théorèmes d'incomplétude de Gödel, qui expliquent qu'un système logique capable d'expliquer l'arithmétique des entiers possède des propositions de théories sur les nombres entiers qui ne peuvent être confirmées par les principes fondamentaux mathématiques, puis il qualifie alors ces propositions-ci comme des "propositions indécidables". Il classe simplement les théories qui nous semblent justes mais qui restent de nos non-démontrées dans un groupe de théories. Il y a alors deux théories mathématiques que Gödel regroupe ensemble, nous allons voir les explications de ces théorèmes pour comprendre de quoi il s’agit, mais voici dans un premier temps leurs énoncés tels que Gödel les a formulé :
1- "Il est possible de construire un énoncé arithmétique qui ne peut être ni démontré ni réfuté dans n'importe quelle théorie récursivement axiomatisable."
Ce premier théorème nous dit que l’on peut avoir un énoncé mathématique, donc une question, dont nous connaissons la réponse, ou en tout cas, dont nous sommes quasiment certains de la connaître, le fait est que nous sommes incapables de faire la démonstration mathématique de la réponse à cet énoncé, car personne n’a réussi à le faire jusqu’ici pour la simple et unique raison que nous ne pouvons pas faire la démonstration de la réponse à cet énoncé en question, ni prouver le contraire, en utilisant les principes mathématiques fondamentaux qui au contraire sont connus et démontrés.
2- "Si T est une théorie cohérente satisfaisant des hypothèses analogues, alors la cohérence de T, exprimable dans la théorie T n'est pas démontrable dans T."
Ce deuxième théorème nous dit en revanche que si l’on considère une théorie, qui est plutôt intuitive et que l’on a facilité à croire, sans avoir la preuve mathématique sous les yeux et puisqu’elle n’existe pas, alors sa cohérence n’est pas démontrable par une démonstration mathématique, puisque cela revient à notre premier théorème qui nous dit que cette situation est possible et que dans ce cas, la théorie n’est pas démontrable.
L’exemple type est que l’on ne peut pas prouver que 1+1=2. On a défini ce qu’était les chiffres, qui composent les nombres, mais c’est une simple écriture qui nous sert d’outil et c’est donc pour cela qu'il est impossible de prouver une telle chose, car on pourrait tout simplement écrire les chiffres d’une autre sans que le sens ne change, on arrive alors au fait qu’on ne peut pas prouver qu’une écriture est correcte puisque c’est conventionnel. Cela rejoint une question philosophique qui a occupé les philosophes durant de longues périodes, cela s’explique par le fait que tous les philosophes ne sont pas d’accord entre eux et bien que ce soit contesté, il est possible d'appliquer les théorèmes d'incomplétude en philosophie, notamment comme l'a fait l'écrivain Régis Debray pour expliquer l'irrationalité dans les sociétés. Les groupes sont associés à des systèmes mathématiques. Ainsi, d'après Debray, il existe de l'irrationalité dans les groupes humains mais on ne pourrait pas démontrer cette existence. Même si c'est contesté, il faudrait noter que certaines contradictions ne sont pas vraiment pertinentes, notamment celles qui se servent du fait qu'une proposition soit indémontrable pour démontrer une existence divine.
Blog écrit par Martin BOSQUET, Antoine LECOMTE et Theodore RIZO
